Inequações do primeiro grau Vamos lembrar que uma inequação é uma desigualdade. Exemplo: x – 2 ≥ 3 De forma geral, as inequações são resolvidas da mesma forma que as equações, isolando o “x” de um lado e os números do outro. No exemplo acima: x – 2 ≥ 3 x ≥ 3 - 2 x ≥ 1 A única diferença é quando ou invertemos o lado do “x”, ou quando trocamos sinais negativos, que devemos inverter o sinal da desigualdade. Exemplos: a) invertendo o lugar de x: 2 <> 2 (inverteu o sinal) x > 2 + 2 x > 4 b) trocando sinal negativo: - 2x > 4 x < -2 (passou o -2 para o outro lado, inverteu o sinal da desigualdade). Para resolvermos inequações, podemos usar o estudo da variação do sinal da função, ou seja, descobrir para que valores a função é positiva (valores de y acima do eixo x) ou negativa (valores de y abaixo do eixo x). Lembrem-se que, quando a reta do gráfico de uma função y = ax + b cruza o eixo x, ali tem-se y = 0. Então, o valor da raiz (valor de x quando a reta cruza o eixo horizontal) é x = - b/a. Veja o estudo do sinal na figura: Esse estudo é mais útil quando temos um sistema de inequações ou quando a inequação se baseia em multiplicação ou divisão de funções. Os exemplos da apostila e os exercícios resolvidos nos ajudarão a ver isso. Exercícios de classe, nº 2: A) B) Exercícios de casa B Exercício 5: Aqui, devemos pensar em cada inequação separadamente, achando a solução de cada uma. Depois, achamos a intersecção das soluções de cada inequação. 1ª inequação: 3x + 4 ≤ 5x + 8 Arrumando: 3x – 5x + 4 – 8 ≤ 0 - 2x – 4 ≤ 0 Esta será a função “a”, que é decrescente. Estudando o seu sinal, temos: - 2x – 4 = 0 - 2x = 4 x = -2 (lembrar que o sinal se inverte) Assim, a solução da 1ª inequação do sistema (ou seja, quando ela é menor ou igual a zero, veja o sinal da função) será quando x ≥ - 2 2ª inequação: (x + 3)(x – 1) > 0 Aqui, vamos ter que trabalhar com duas funções separadas: função “b”: x + 3 = 0 x = -3 crescente função “c”: x – 1 = 0 x = 1 crescente Aqui, temos que achar a intersecção entre as duas funções, “b” e “c”, para que as duas satisfaçam, ao mesmo tempo, serem maiores que zero. Assim, encontramos a solução da 2ª inequação do sistema: A solução será a intersecção entre os dois conjuntos de cada inequação, fazendo-se assim: Ou seja, a resposta será x > 1, ou ( 1, ∞ ). A alternativa correta é “a”. *Na notação de conjuntos, o colchetes inclui o número e parênteses não. No caso, o conjunto é maior que 1, mas não inclui o 1. O sinal ∞ significa infinito, que não pode ser totalmente incluído no conjunto, por isso se usa o parênteses. Exercício 6: Como nos outros exercícios, se deve estudar cada função separadamente. Ou seja, da inequação inicial, se separam as duas funções. Primeira: 4 – x = 0 (função decrescente). A raiz será x = 4. Segunda: 1 + x = 0 (função crescente). A raiz será x = -1 Pelo estudo do sinal: Ou seja, a solução será: – 1 < x ≤ 4. Reparem que o – 1 não está incluído porque, na inequação inicial, o valor -1 torna o denominador igual a zero, o que não pode (divisão por zero não existe!). A questão pede quantos números inteiros estão neste conjunto. Ou seja, os números serão: 0, 1, 2, 3 e 4. Ou seja, cinco números. Alternativa correta: “d”. Exercício 7: É um exercício em que se poderia utilizar gráficos de equações de primeiro grau. Mas um pouco de pensamento já resolve o exercício. Primeiro, vamos separar os dados. Temos: Empresa Limpiski: até 50 m², preço fixo de R$ 70; áreas maiores: valor fixo de R$ 45 mais R$ 0,50 por m² Empresa Clean: até 40 m², preço fixo de R$ 40; áreas maiores: R$ 1 por m² Vamos testar agora cada afirmação. I – pelos dados da empresa Clean, para lavar 80 m², a empresa cobrará R$ 80. Está errada. II – para lavar 70 m², a empresa Clean cobra R$ 70. A empresa Limpinski, pela equação, cobrará R$ 80. Podem conferir. Está correta. III – para lavar 80 m², a empresa Clean cobra R$ 80, e a Limpiski, R$ 95. Para lavar 100 m², Clean cobra R$ 100, e Limpiski, R$ 95. Podem conferir pelas contas. Como se afirma que Limpiski é sempre a mais barata, está errada. A alternativa correta, então, será a alternativa “a”.